מספרים ראשוניים, מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים

Transkript

1 "קשר חם" המרכז הארצי לקידום, שיפור וריענון החינוך המתמטי הטכניון - מכון טכנולוגיה לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים מוסד הטכניון למחקר ופיתוח מל"מ המרכז הישראלי להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט הנושא: תרומתו של אוילר להתפתחות תורת המספרים הוכן ע"י: אלה שמוקלר. תקציר: לרגל יום הולדתו ה- 00 של ליאונרד אוילר, שנחשב לגדול המתמטיקאים בכל הדורות, נכתב המאמר, המכיל סקירה נרחבת על תרומתו בתחום תורת המספרים. המאמר מכיל גם הצעה לפעילות בכיתה בנושא: משפטי פרמה ואוילר. הפעילות מציגה לתלמידים קטע קריאה ומשימות מונחות. מילות מפתח: היסטוריה של המתמטיקה, תורת המספרים, ליאונרד אוילר, מספרים ראשוניים, מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים ר עים, מספרי פרמה, מספרי מרסן, מספר זוגי, השערת גולדבך, משפט פרמה, משפט אוילר, משוואות דיאופנטיות, חינוך מתמטי, קריאה, דרכי הוראה. החומר פורסם במסגרת: על"ה 8, תשס"ז 00, עמודים -. החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 9 עמודים. le8-

2 00 שנה להולדת אוילר תרומתו של אוילר להתפתחות תורת המספרים אלה שמוקלר הטכניון, חיפה רקע היסטורי ליאונרד אוילר (0-8 Euler,,(Leonhrd ביצירתו חסרת התקדים בהיקפה ובעוצמתה, תרם בזמנו תרומה משמעותית לכל ענף של המתמטיקה ושל יישומיה. תורת המספרים נמצאה במקום השלישי בסולם העדיפויות של אוילר בתחום המתמטיקה הטהורה, אחרי האנליזה והגיאומטריה. בתוך המכלול של 88 עבודות מדעיות של אוילר יותר מ- 00 מוקדשות לתורת המספרים עובדה מפתיעה לאור זאת שבתקופתו של אוילר מתמטיקאים רבים התאכזבו מתורת המספרים, כיוון שראו אותה כתחום סגור בתוך עצמו שאינו תורם לתחומי מתמטיקה אחרים. בניגוד לדעה זו, אוילר, שתפס את המתמטיקה כגוף אחד רב- תחומי, בו התחומים השונים מתקשרים זה לזה ומשפיעים זה על זה, ראה בתורת המספרים הן מקור לרעיונות ושיטות, שניתן ליישמם בתחומים שונים של המתמטיקה, והן כר נרחב לניסוי שיטות שפותחו בתחומים אחרים. גישה זו הוכיחה את עצמה, כאשר אוילר יישם שיטות מתחום האנליזה בתורת המספרים ובכך יזם את התפתחותו של מדור חדש בתורת המספרים הנקרא "תורת המספרים האנליטית". תורת המספרים היא אחת התורות המתמטיות הקדומות ביותר. בתולדותיה בנות יותר מ- 00 שנה ניתן להבדיל בין שני עידנים: העידן הקלאסי והעידן המודרני []. בעידן הקלאסי (המאה ה- לפנה"ס המאה ה- לסה"נ) מוקדי ההתפתחות של תורת המספרים היו, תחילה, במשך כאלף שנה, ביוון העתיקה ולאחר מכן בארצות האסלם, הודו וסין. במאה ה- עבר מרכז ההתפתחות של תורת המספרים לאירופה ובכך התחיל העידן המודרני בתולדותיה. גאוס שנולד זמן מה לפני פטירתו של אוילר (-8), היה מתמטיקאי פורה במידה שניתנת להשוואה עם זו של אוילר. עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00 המאה ה- 8, בה פעל אוילר, שייכת לתקופה המוקדמת של העידן המודרני בהתפתחות תורת המספרים. תקופה זו החלה בעבודות של באשה Bchet,8-) Clude (8 ופרמה 0-) Fermt, (Pierre de ונמשכה אחרי אוילר אצל גאוס (- Guss, Crl Friedrich 8), אשר סיים את עיצובה של תורת המספרים כתורה מתמטית מודרנית. בשחר התפתחותה של תורת המספרים עבדו גם: מרסן 88-8) Mersenne,,(Mrin גולדבך Edwrd ) וארינג,(Christin Goldbch, 90-) Lgrnge Joseh Louis) לגרנג',(Wring, -98,(-8 לז'נדר -) Legendre, Adrien Mrie 8) ועוד מתמטיקאים אחדים שתרמו תרומה משמעותית להתפתחות תורת המספרים. יצירתו של אוילר בתחום תורת המספרים מהווה דוגמא משכנעת של רציפות ההתפתות של תורות מתמטיות כאשר כל דור, בהתבססו על הישגי דורות קודמים, תורם תרומה משלו לפיתוח ולקידום של התורה. ברוח זו נציג בסעיף הבא סקר מרוכז של תרומתו של אוילר לתחום תורת המספרים. כיווני הפעילות והישגיו של אוילר בתורת המספרים תורת המספרים עוסקת בחקר תכונות של מספרים שלמים. נביא מספר מושגי יסוד של תורה זו: מספר שלם הוא איבר בקבוצה: Z = { 0,,,,,,,...} מספר טבעי הוא איבר בקבוצה: },... {,,, = N מספר שלם מתחלק במספר שלם b (או b מחלק את ( אם = q m כאשר q הוא מספר שלם. מספר שלם b נקרא המחלק של מספר שלם אם מתחלק ב- b. שני מספרים שלמים נקראים זרים זה לזה אם אין להם אף מחלק משותף למעט. ±

3 P( 0 ) = מספר שלם r הוא שארית של מספר שלם מודולו m אם = q m + r כאשר q שלם, m טבעי ו-. 0 r < m מספרים שלמים ו- b נקראים קונגרואנטיים מודולו m אם b = q m כאשר q שלם ו- m טבעי. הסימון: modm). b ( מספר טבעי הגדול מ- נקרא מספר ראשוני אם הוא מתחלק רק ב- ± וב- ±. מספר טבעי n הגדול מ- אשר אינו מספר ראשוני נקרא מספר פריק.. נוסחאות המחוללות מספרים ראשוניים בתקופת אוילר חוקרי תורת המספרים התעניינו מאוד במציאת תבניות שערכיהן הם מספרים ראשוניים בלבד. פרמה טען כי כל המספרים מהצורה n טבעי הם מספרים ראשוניים. אכן עבור n + =,,, עם n מתקבלים המספרים הראשוניים:.,,, בשנת אוילר הוכיח כי המספר המתקבל עבור = n כלומר + מתחלק ב- ולכן אינו מספר n F n ראשוני אלא מספר פריק. נהוג לסמן = F n + ולקרוא למספרים אלה מספרי פרמה. בעקבות אוילר מתמטיקאים רבים בדורות הבאים חקרו את מספרי פרמה מבחינת פריקותם. כתוצאה מכך, בזמננו ידוע כי כל המספרים עבור n הם מספרים פריקים. השאלות הפתוחות הן: האם קיימים מספרי פרמה ראשוניים למעט הארבעה הנ"ל ואם כן, מה מספרם והאם הוא סופי או אינסופי? תבנית אחרת הקשורה ליצירת מספרים ראשוניים היא M = כאשר מספר ראשוני. למספרים אלו קוראים מספרי מרסן לכבודו של המתמטיקאי הצרפתי של המאה ה- מרסן והתעניינותו הרבה בהם. בסוף המאה ה- היה ידוע כי הנוסחה מחוללת מספרים ראשוניים עבור =,,,,,,9. בשנת אוילר גילה את מספר מרסן הראשוני הבא, עבור =. עד שנת 00 התגלו מספרי מרסן ראשוניים. הגדול שביניהם מתאים ל- = 8. אוילר התעניין בנוסחאות פולינומיאליות המחוללות מספרים ראשוניים. בפרט, הוא חקר בקפדנות את הפולינום + n. P n = n + עוד בתקופות הקודמות לתקופת אוילר רווחה הדעה כי פולינום זה מקבל ערכים ראשוניים בלבד. בשנת הראה אוילר כי אין זה נכון. אכן, עבור 9,..., =,0, n מתקבלים ו- ברצף ערכים ראשוניים אבל = ( )P אינם מספרים ראשוניים. מעניין הוא שוב מספר ראשוני. שהערך הבא לפולינום P( ) = 8 P( n) = n + n + קוראים "פולינום אוילר". במכתביו של אוילר ובעבודותיו יש דוגמאות נוספות של פולינומים המחוללים עוד מספרים ראשוניים רבים. יחד עם זאת, כפי שהוכיחו אוילר וגולדבך, לא קיים P n = + n + n עם מקדמים פולינום + k n... + k 0 שלמים, אשר ערכו עבור כל n טבעי הוא מספר ראשוני. בעקבות תגלית זו חקירת פולינומים כמייצרי מספרים ראשוניים התמקדה בחיפוש הפולינומים המייצרים רצף של ערכים ראשוניים ככל שיותר ארוך. התוצאה הטובה ביותר שהצליחו לקבל בכיוון זה עד סוף המאה ה- 0 בין הפולינומים ממעלה שנייה, ניתנת על ידי, Q n = n אשר מקבל 80n הפולינום + ערכים ראשוניים ברצף עבור,...,,, =. n יחד עם זאת קיימות תבניות (לא פולינומיאליות) אשר מייצרות רק מספרים ראשוניים (לא כולם!). כך, בשנת 9 נתגלה כי קיים מספר חיובי r עבורו כל ערכי התבנית f ( n) = r n הם מספרים ראשוניים x ) מסמן חלק שלם של ). x לבסוף נציין, כי לא ידועה, וכנראה שלא קיימת, תבנית אחת המתארת את כל המספרים הראשוניים ורק אותם.. הצגת מספרים טבעיים כסכום מחוברים ראשוניים (השערת גולדבך) הבעיה המפורסמת הידועה בשם "השערת גולדבך" נולדה בהתכתבות בין גולדבך ואוילר בקיץ. הניסוח המקובל של השערה זו הוא: "כל מספר טבעי זוגי החל במספר ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים". למשל, = +, = + 9, 9 = + 89, 00 = + 9 אוילר בעצמו לא ניסה, משום מה, להוכיח או להפריך את הטענה הזאת. המאמצים של המתמטיקאים בדורות הבאים עוד לא הביאו לפתרון השלם של הבעיה. במאה ה- 0 הצליחו להוכיח כי השערת גולדבך נכונה כמעט לכל המספרים הזוגיים אבל עוד לא ברור אם היא נכונה בשלמותה, כלומר לכל המספרים הזוגיים החל ב-, או לפחות נכונה חלקית קרי לכל המספרים הגדולים ממספר מסוים. עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

4 . שאריות מעריכיות והכללת משפט פרמה הקטן פרמה ניסח את המשפט הידוע בשם "משפט פרמה הקטן" אשר (בסימונים מקובלים כעת) טוען: אם מספר ראשוני ו- מספר שלם אשר זר ל-. כלומר אינו כפולה של אזי ( ) mod למשל, אם = ו- = אזי = = 09 = 8 + ( mod ) פרמה, לפי הרגלו, לא הציג את הוכחת המשפט. אוילר הביא שתי הוכחות למשפט זה. אחת מתבססת על התכונות של מקדמי בינום והשנייה על התכונות של. במספר, שאריות בחילוק החזקות,,..., לשאריות אלה קוראים שאריות מעריכיות. בנוסף,,אוילר הוכיח, כי אם ראשוני ועבור איזשהו k טבעי הקטן מ- מתקיים ) k ( mod אזי בהכרח k הוא מחלק של. לאחר מכך הגדיר אוילר את המושג 'השורש הפרימיטיבי' עבור מספר ראשוני: מספר שלם נקרא שורש פרימיטיבי עבור מספר ראשוני k אינו מתקיים עבור אף k ( mod ) אם התנאי טבעי הקטן מ-. לאור התוצאה שהוזכרה לעיל המספר שאינו מתחלק במספר ראשוני אי-זוגי הוא שורש פרימיטיבי עבור אם ורק אם התנאי ) k ( mod אינו מתקיים עבור אף k טבעי אשר קטן מ-( ( ומחלק את ( ). למשל, עבור = המספר = הוא שורש פרימיטיבי כי בחילוק ב- של החזקות = =, = 9, אף פעם לא מתקבלת שארית. לעומת זאת המספר שורש פרימיטיבי עבור = כי ( mod ) = אינו. = 8 אוילר הוכיח כי עבור כל מספר ראשוני קיים שורש פרימיטיבי. תוך כדי חקירתו של משפט פרמה הקטן, הגיע אוילר להכללה הבאה הידועה בשם "משפט אוילר": יהי m מספר טבעי כלשהו ויהי מספר שלם כלשהו אשר זר ל- m. אם ϕ m מסמן את מספר כל המספרים הטבעיים הקטנים מ- m אשר זרים ל- m, אזי מתקיים: ϕ m ( mod m) אם m = ראשוני, אזי ϕ m = ולכן משפט פרמה הוא השלכתו המיידית של משפט אוילר או, במילים אחרות, משפט אוילר הוא הכללתו של משפט פרמה הקטן. דוגמא יהי = 8 m. המספרים הטבעיים הקטנים מ- 8 וזרים לו הם:.,,, לכן = m).ϕ( לפי משפט אוילר עבור כל שלם אשר ( mod8) זר ל- 8 קרי כל מספר אי-זוגי. ואכן: וגם = 8 mod8 8 = = + = וכדומה. 8 + mod8. שאריות ריבועיות מספר שלם נקרא שארית ריבועית מודולו ראשוני אם x קיים מספר שלם x כך שמתקיים: ) ( mod למשל, = הוא שארית ריבועית מודולו = כי ( mod ) =. לעומת זאת, המספר = אינו שארית ריבועית מודולו = כי אין אף x בין x =,,,,, עבורו מתקיים: x ( mod) אוילר גילה קריטריון בעזרתו ניתן לקבוע אם מספר נתון הוא שארית ריבועית מודולו נתון או לא. קריטריון השארית הריבועית של אוילר יהי מספר ראשוני אי-זוגי. מספר שלם הוא שארית ריבועית מודולו אם ורק אם מתקיים: = ( mod ) ( mod ) = =, מתקיים: למשל,עבור כאשר =. לפי קריטריון אוילר, ( mod) = הוא שארית ריבועית מודולו ו- = אינו שארית ריבועית מודולו. מסקנות אלה תואמות את המסקנות שהתקבלו לעיל על סמך ההגדרה של שארית ריבועית. תגלית חשובה נוספת של אוילר לגבי שאריות ריבועיות קשורה לזוג של מספרים ראשוניים. יהיו, q שני מספרים אי-זוגיים ראשוניים שונים. ברור כי ייתכנו רק שני מקרים: א. לפחות אחד מהספרים, q הוא מהצורה +. n ב. כל אחד מהמספרים, q הוא מהצורה + n. אוילר הוכיח כי במקרה א' המספר הוא שארית ריבועית מודולו q אם ורק אם q הוא שארית ריבועית מודולו. במקרה ב' להפך, המספר הוא שארית ריבועית מודולו q אם ורק אם q אינו שארית ריבועית מודולו. לחוקיות זו קוראים "חוק ההדדיות הריבועית" של אוילר. למשל, יהי =. q =, 8 עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

5 כפי שראינו קודם המספר = q אינו שארית ריבועית מודולו =. היות ולמספרים = ו- = q מתקיים מקרה ב', לפי חוק ההדדיות של אוילר מסיקים כי המספר = הוא שארית ריבועית מודולו. = (mod ) ואכן, ; q = עבור =, q =, מתקיים מקרה א'. קל לבדוק כי j אינו שארית ריבועית מודולו. לפי חוק ההדדיות הריבועית של אוילר גם אינו שארית ריבועית מודולו. המתמטיקאי הצרפתי לג'נדר, מהדור הבא אחרי אוילר, המציא סמלים (אינדקסים, סימנים) אשר הקלו בהרבה על שימוש בתוצאות אוילר לגבי שאריות ריבועיות.. פונקציות חשבוניות להכללת משפט פרמה הקטן, אוילר הגדיר פונקציה ϕ(n) של משתנה טבעי n באופן הבא: = ( )ϕ, ואם n אזי הערך של ϕ(n) הוא המספר של כל, [ אשר זרים ל- n. המספרים הטבעיים בקטע [ n למשל, = 8 ( ) ϕכי בין לבין יש 8 מספרים אשר זרים ל-, דהיינו,,,,8,,,. לפונקציה ϕ(n) קוראים כעת פונקציית אוילר והיא אחת הפונקציות המעתיקות את קבוצת המספרים הטבעיים לתוך קבוצת המספרים השלמים:. f (n) : N Z לפונקציות כאלה קוראים פונקציות חשבוניות (אריתמטיות). אוילר פיתח נוסחה לחישוב α α α n = כאשר s ערכי n).ϕ( דהיינו, אם s מספרים ראשוניים שונים, מספרים טבעיים, אזי.ϕ α j ( n) = n s למשל, היות ו- = = n, לפי הנוסחה דלעיל מקבלים: = ) (.ϕ הגענו לאותו ערך אשר = 8 התקבל קודם על פי ההגדרה של פונקציית אוילר. = ולכן דוגמא נוספת: = ) (.ϕ לפי תוצאה זו, בין = לבין יש סה"כ מספרים זרים ל-. ברור כי במקרה זה, חישוב לפי הנוסחה הרבה יותר קצר מאשר על פי הגדרת הפונקציה ϕ, n דרך איתור של כל המספרים הזרים ל- בקטע. [,]. מספרים מיוחדים מספר טבעי n נקרא מספר משוכלל אם הוא שווה לסכום כל מחלקיו הטבעיים הקטנים ממנו. + = 8. לכן ו , = + למשל, + הם מספרים משוכללים. המספרים המשוכללים הבאים הם 9 ו- 88. ארבעת המספרים האלה מוכרים כמספרים משוכללים עוד מהזמן העתיק. אוקלידס הוכיח כי אם ראשוני ו- ראשוני, אזי המספר הוא מספר משוכלל. אוילר הוכיח את המשפט ההפוך: כל מספר זוגי משוכלל הוא בהכרח עם ראשוני ו- מספר מהצורה ראשוני. ממשפטים אלה נובע כי עם מציאת מספר זוגי משוכלל חדש נמצא בו-זמנית גם מספר מרסן ראשוני חדש ולהפך. היות והמספר התגלה כמספר 0 ראשוני על ידי אוילר, המספר נקרא המספר המשוכלל של אוילר. הוא נשאר המספר המשוכלל הגדול ביותר במשך יותר מ- 0 שנה. בסוף המאה ה- 0 התחיל "ציד" נמרץ של מספרי מרסן הראשוניים עקב ניצולם להצפנת מידע. בתחילת המאה ה- היו ידועים 0 מספרי מרסן הראשוניים, כאשר הגדול שביניהם, מספר מרסן הראשוני ה- 0 שווה ל ומכיל יותר מ-שישה מיליון ספרות (בבסיס עשר). שני מספרים נקראים מספרים ידידים או רעים או נאהבים אם כל אחד מהם הוא סכום של כל המחלקים הטבעיים של השני הקטנים מהשני. הזוג הקטן ביותר של מספרים ידידים הוא.,0 8 בתקופת אוילר היו ידועים בנוסף לזוג זה עוד שני זוגות של מספרים ידידים: 9,8) ( ו-( 90 ( 98,. אוילר גילה יותר מ- 0 זוגות של מספרים ידידים. עד היום התגלו בעזרת מחשבים יותר מ- 0,000 זוגות של מספרים כאלה. לאוילר שייכת זכות הגילוי של סדרת מספרים אשר בהמשך מצאו n n פנטגונליים (מחומשים) ישום חשוב בקומבינטוריקה ובתורת האליפטיות. הפונקציות. משוואות דיאופנטיות למשוואות דיאופנטיות מוקדשות עבודות רבות של אוילר בתורת המספרים. בשנת 0 הוא הוכיח את משפט פרמה הגדול עבור = n. אוילר חקר והציג בשנת 9 פתרון שלם של המשוואה = y x המבוסס על פיתוח לשבר משולב. הוא הוכיח כי את המשוואה הדיאופנטית ממעלה שנייה מהצורה Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey הכללית: = 0 F + 9 עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

6 ( n ) n עבור,..., ±, ±, ± 0 = n. על סמך זהות זו אוילר קיבל את נוסחת הנסיגה עבור סכום המחלקים הטבעיים של מספר טבעי n. דהיינו אם Sn = Sn + Sn Sn Sn S n סכום כזה אזי:... + S = S + S S למשל: = ) ( ) ( + = S = ואכן: = ניתן להביא לצורה קנונית. u v = b הוא קישר את פתרון המשוואה האחרונה, ובכך את פתרון המשוואה הכללית, לפתרון המשוואה = y x אשר נקראה על ידיו בשם "משוואת פ ל". משוואה זו נחקרהחלקית עוד במאה ה- על ידי המתמטיקאי ההודי בּר חמ גוּפּט ה. אוילר הציע נוסחה למציאת כל הפתרונות של המשוואה. u v = b החקירה של נוסחה זו בוצעה בהמשך על ידי לגרנז'. 8. תבניות ריבועיות תבנית ריבועית בתורת המספרים פירושה ביטוי x + bxy כאשר כל המשתנים מהצורה + cy והמקדמים הם מספרים שלמים. לפרמה שייכות הטענות הבאות: כל מספר ראשוני מהצורה + n 8 או + n 8 ניתן להציג על ידי התבנית x + y וכל מספר ראשוני מהצורה + n ניתן להציג על ידי התבנית n אינו מוצג, x + y אף מספר ראשוני מהצורה על-ידי התבנית הזאת. פרמה גם קבע כי כל מספר ראשוני מהצורה + n (ורק מצורה זו) ניתן להציג כסכום של שני ריבועים. אוילר ולגרנז' הוכיחו את הטענות האלה. אוילר הוכיח, כי אם ניתן להציג כל אחד משני מספרים כסכום של ארבעה ריבועים, אזי גם מכפלתם ניתנת להצגה כזו. תוך שימוש בתוצאה זו, לגרנג' הוכיח בשנת 0 כי כל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים (ביניהם יכולים להיות ריבועים שווים ואפסים). באותה שנה 0 המתמטיקאי האנגלי אדוארד וארינג טען (ללא הוכחה) כי ניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של 9 חזקות שלישיות, של 9 חזקות ריבועיות וכך הלאה. בכלל, כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של m חזקות k -יות כאשר m תלוי רק ב- k. טענה זו ידועה בהיסטוריה של המתמטיקה בשם "השערת וארינג". היא הוכחה על ידי הילברט בשנת שיטות אנליטיות אוילר היה הראשון שהשתמש בשיטות אנליטיות בתורת המספרים ובכך פתח מדור חדש בתורת המספרים הנקרא 'תורת המספרים האנליטית'. הכלים האנליטיים האהובים עליו היו מכפלות אינסופיות וטורי חזקות. הוא פיתח את הזהות: ( x)( x )( x )... = x x + x + x x x +... כאשר מעריכי החזקות באגף הימין משתנים לפי החוק כמו כן פיתח אוילר את הזהות: כאשר ( + xz)( + x z)( + x z) = + A z + A z + A z +... A = x + x M A = x A = x + x + x + x + x + x x + x M על סמך פיתוח זה, אוילר פתר את בעיית החלוקה roblem) :(rtition בכמה דרכים שונות ניתן להציג מספר טבעי m כסכום של n מחוברים לא שווים? את התשובה לשאלה זו ניתן לקבל מהפיתוח דלעיל. דהיינו m כל איבר k x של טור A n עם n נושא מידע: מספר כל הייצוגים השונים של מספר m כסכום של n מחוברים שונים שווה ל- k. 8 למשל, האיבר x בטור מודיע כי המספר 8 ניתן A 9 + x + x A x + x להצגה כסכום של שני מחוברים שונים ב- דרכים, 8 והאיבר x מהטור מוסר מידע כי אותו מספר 8 ניתן להצגה כסכום של שלושה מחוברים שונים ב- דרכים. ואכן: 8 = + = + = + 8 = + + = התפלגות מספרים ראשוניים בין כל הזהויות המכילות טורים אינסופיים שפותחו על ידי אוילר, הזהות המפורסמת ביותר היא: = s n= n s כאשר s מסמן מספר ממשי קבוע, n מקבל את כל הערכים הטבעיים, ו- מקבל את כל הערכים הטבעיים הראשוניים. לזהות זו קוראים זהות אוילר. לפיה, הטור, המופיע באגף שמאל, והמכפלה, המופיעה באגף ימין, מתכנסים בו-זמנית לערכים סופיים שווים או מתבדרים בו-זמנית, כלומר מקבלים ערך אינסופי. אם = s, הטור באגף השמאל הופך לטור ההרמוני אשר סכומו הוא אינסוף. המכפלה באגף ימין במקרה בו 0 עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

7 s = הופכת ל-... K K כאשר מסמן את מספר כל המספרים הראשוניים. הערך הזה שווה לאינסוף אם ורק אם = K. לכן מזהות אוילר עבור = s נובע משפט אוקלידס על האינסופיות של קבוצת המספרים הראשוניים. אוילר התעניין בשאלת האופי של ההתפלגות של המספרים הראשוניים בתוך קבוצת הטבעיים. הוא העלה השערה, כי בכל סדרה חשבונית אינסופית n =,,,... + b n עם, b זרים, יש אינסוף מספרים ראשוניים. השערה זו הוכחה בשנת 8 על ) Gustv Peter דיריכלה ידי המתמטיקאי הגרמני השיטות סמך על (Lejeune Dirichlet,80-89 האנליטיות של אוילר. אוילר ניסח מספר במכתב לגולדבך באוקטובר π x המסמנת שיקולים לגבי סדר הגודל של הפונקציה את מספר כל המספרים הראשוניים בקטע. [, x] ς המתמטיקאי הצרפתי לג'נדר היה הראשון שהתחיל בו והמשיכו זו פונקציה של השיטתי בלימוד Friedrich ) המתמטיקאים הגרמניים גאוס ורימן Riemnn, 8-8.(Bernhrd בשנת 89 המטיקאי הבלגי ולה פוסין Poussin,) Chrles Jen de L Vllée Jcques) 8-9) והמתמטיקאי הצרפתי הדמר בו-זמנית Hdmrd, 8-9 (Slomon הוכיחו, תוך שימוש בתוצאות קודמיהם ובאופן בלתי תלוי, ובניצול כלים מתמטיים חדשים של זמנם, כי : π x. = x x ln x זהו משפט המספרים הראשוניים. ממשפט זה נובע כי מספרים n עבור n טבעי מספיק גדול קיימים כ- ln n ראשוניים הקטנים מ- n. נציין כי בזהות אוילר שהובאה בתחילת סעיף זה, הופיעה, לראשונה במתמטיקה, הפונקציה () s = = n s n אשר נקראה מאוחר יותר על-שם רימן "פונקציית זיתא של רימן". רימן היה הראשון שגילה קשר מפליא בין ההתפלגות של מספרים ראשוניים בקבוצת המספרים הטבעיים לבין התפלגות האפסים של הפונקציה ς s במישור המרוכב. רימן העלה מספר () השערות ביחס להתפלגות האפסים של פונקציית זיתא. אחת מהן, הידועה בשם 'השערת רימן', טוענת כי כל האפסים הלא-ממשיים של ς () s במישור המרוכב = x. השערה זו לא הוכחה ולא נמצאים על הישר הופרכה עד היום, למרות המאמצים של מתמטיקאים גדולים בכל הדורות אחרי רימן. מאמצים אלה הביאו ניכרת בכיוון להישגים משמעותיים ולהתקדמות הסכמה מלאה קיימת הפתרון של השערת רימן. בקהיליה המתמטית העולמית, כי השערת רימן בדבר המיקום של האפסים של פונקציית זיתא היא הבעיה הפתוחה החשובה ביותר במתמטיקה היום. כך התגלית על ידי אוילר של הזהות המיוחדת העניקה משפט המספרים לתורת המספרים שתי סגולות: אתגר האתגרים המהווה הראשוניים והשערת רימן לדורות המתמטיקאים. ההשלכות של יצירת אוילר לחינוך מתמטי לפי עדויות עמיתיו ותלמידיו של אוילר, הוא היה מורה מצוין, אהב להסביר וניחן בכושר הסבר מדהים. על כך מעידים גם ספרים שכתב בתחומים שונים של המתמטיקה, בהם החומר מוגש באופן שיטתי ובצורה ברורה ובהירה ביותר. ספרים אלו שימשו ספרי לימוד לדורות לומדי המתמטיקה הגבוהה, עליהם התבססו גם ספרי לימוד רבים שנכתבו בזמן יותר מאוחר. העובדות שגילה ותיאר אוילר והמושגים והמונחים שהגדיר בתחומי מתמטיקה שונים, שבחלקם היה בין המייסדים כגון אנליזה, חשבון וריאציות, משוואות דיפרנציאליות, טופולוגיה, קומבינטוריקה, פונקציות מרוכבות נעשו "הקלאסיקה" של המתמטיקה ונכנסו לקורסים מתמטיים באוניברסיטאות ומכללות. משפט אוילר, נוסחת אוילר, משוואת אוילר, זהות אוילר, שיטת אוילר מונחים אלו ורבים אחרים המשלבים את שמו של אוילר, מבוטאים על ידי דורות של תלמידי המתמטיקה הגבוהה ברחבי העולם. לעומת זאת, בבתי ספר על-יסודיים כמעט ולא נשמע השם של אוילר, אם כי גם המתמטיקה הבית-ספרית מכילה לא מעט עובדות, מושגים וסימונים אשר מקורם בעבודות של אוילר, כמו המספר e ולוגריתם טבעי, המספר המדומה i, הסימון f x עבור פונקציה, הסימון המקוצר עבור פונקציות טריגונומטריות ועוד. מצב זה נגרם על-ידי הזנחת הפן ההיסטורי בהוראת המתמטיקה בבית הספר התיכון. גם במעמדה של תורת המספרים יש הבדל בין ההשכלה המתמטית הגבוהה לבין החינוך המתמטי העל-יסודי. עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

8 עשרת הנושאים שהוצגו לעיל מהווים בסיס הקורס של תורת המספרים האלמנטארית, שהוא קורס חובה לפרחי ההוראה. אבל הוא נמצא מחוץ למסגרת של הוראת המתמטיקה בתיכון. מצב זה מעציב ומצער היות ולתורת המספרים יכולה להיות תרומה משמעותית להתפתחות המתמטית של תלמיד התיכון, הודות למצב הייחודי שלה כלפיו. מצד אחד, המספרים השלמים אשר מהווים את נושא תורת המספרים, מוכרים היטב לתלמידי תיכון, והם מסוגלים להבין ולהפנים את החלק הניכר של שיטות ועובדות בתחום תורת המספריםהאלמנטארית. מצד שני, לתורת המספרים יש פוטנציאל חינוכי גדול, כי למידה בה עשויה לשפר את פיתוח החשיבה המתמטית אצל הלומד ולהעניק לו הרגלי תרבות ראויה ואינטואיציה הולמת בתחום המתמטיקה. לאור הנ"ל מאוד רצוי לשלב פריטים מתורת המספרים האלמנטארית בחינוך המתמטי העל-יסודי. אפשר לשלב עשייה מתמטית מתחום תורת המספרים בבית- הספר התיכון למשל באירועים בית ספריים כגון ימים או שבועות של מתמטיקה, תחרויות, פרויקטים אישיים וכדומה. על המורה להתאים את החומר המוגש לרמה ולידע של התלמידים. הצעה לפעילות לסיום מובאת כאן דוגמא לעיבוד של נושא מסוים בתורת המספרים לרמה של תלמיד תיכון ממוצע. מוצע כאן קטע קריאה בצד הנחיות לעבודה וחשיבה. הקורא יוכל לשפוט באיזו מידה הושגה המטרה. הנושא שנבחר הוא משפטי פרמה ואוילר בדבר שאריות מעריכיות ויישומם. משפטי פרמה ואוילר על שאריות מעריכיות ויישומם במחצית הראשונה של המאה ה- בעיר טולוז Pierre ) שבדרום צרפת חי ועבד פייר פרמה (Toulouse).(Fermt,0- הוא היה משפטן תרתי משמע: כעורך דין במקצועו היה קשור למשפטים ציבוריים וכחובבן גדול של המתמטיקה התעניין במשפטים מתמטיים, שברובם הוקדשו לנושאים מתורת המספרים. באחד מהמשפטים בהם עסק פרמה הפרידו 0 שנה בין הניסוח להוכחה. דהיינו באמצע המאה ה- הצהיר פרמה כי עבור כל מספר טבעי, n, הגדול מ- n n n y, x, שהוא למשוואה x + y = z לא קיים פתרון z שלשה של מספרים שלמים שונים מ- 0. פרמה לא השאיר אחריו את הוכחת המשפט, ולמרות שטובי המתמטיקאים בכל הדורות אחרי פרמה ניסו להוכיחו, המשפט הוכח בשלמותו רק בסוף המאה ה- 0. משפט זה ידוע בשמות "משפט פרמה האחרון" ו- "משפט פרמה הגדול". השם הראשון קשור לכרונולוגיה של משפטי פרמה והוכחותיהם ואילו השם השני משקף את המעמד המיוחד של המשפט בהיסטוריה של המתמטיקה. בצל שם זה, משפט אחר של פרמה בתורת המספרים, שהוכחתו לא עוררה קשיים מיוחדים, מכונה בשם "משפט פרמה הקטן", אם כי הוא משפט חשוב בתורת המספרים, היות ויש לו השלכות ויישומים משמעותיים ומעניינים. אנחנו נגיע לניסוח המשפט הזה דרך דוגמאות מתאימות. תחילה נגדיר מושגי יסוד אחדים. מספר טבעי הוא אחד מהמספרים,...,,,,,, ומספר ראשוני הוא מספר טבעי הגדול מ- אשר, בקבוצת מספרים טבעיים, מתחלק ללא שארית רק בעצמו וב-. לפי הגדרה זו עשרת המספרים הראשוניים הראשונים הם,,,, 9,,,, 9, כפי שהוכיח המתמטיקאי היווני המפורסם אוקלידס במאה הרביעית לפנה"ס, קיימים אינסוף מספרים ראשוניים. החיפוש אחרי מספרים ראשוניים לא מוכרים נמשך עד עצם היום הזה ומתבצע באמצעות מחשבים רבי עצמה. להלן נעסוק רק במספרים טבעיים ובראשוניים שביניהם. יהי מספר ראשוני כלשהו ו- מספר טבעי הקטן מ-. נתבונן ב- חזקות ראשונות של ונציג כל אחת ככפולה מרבית של ושארית שהיא מספר טבעי הקטן מ-. להלן רשימה של הפעולות האלו המתבצעות עבור = ו- =,,,,. התוצאות של החישובים מוצגות בטבלאות להלן =, =, = 8 = +, = = +, = = +, = = 9 +, = 8 = 8 + =, = 9 = +, = = +, = 8 = +, = = +, = 9 = 0 +, = 8 = + עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

9 =, = = +, = = +, = = 89 +, = = +, = = +, = 8 = 0 + =, = = +, = = 0 +, = 9 = 8 +, = = 0 +, = = +, =, = = +, = = 9 +, = = +, = 0 = +, = 09 = 8 +, = 8 = 0 + = 99 = כשמשווים את כל הפיתוחים בטבלאות לעיל, רואים שיש להם תכונה משותפת אחת: השארית בשורה שלפני האחרונה היא ובשורה האחרונה היא. משפט פרמה הקטן טוען, כי מצב זה תקף עבור כל ראשוני וכל שלם שאינו כפולה של. בניסוח המשפט להלן נסתפק ב- טבעיים. מספר משפט פרמה הקטן יהי מספר ראשוני כלשהו ויהי אזי בחילוק. טבעי שאינו כפולה של b = ב- מתקבלת שארית. המספר משימה. בדקו את תקפות המשפט עבור זוגות של מספרים, מתאימים. משימה. הסבירו מדוע נחוץ התנאי ש- אינו כפולה של. במתמטיקה כל משפט מאומת על ידי הוכחתו. מדוע? כי אף אם נביא מספר גדול מאוד של דוגמאות פרטיות התואמות את טענת המשפט, תמיד נשאר ספק שאולי קיימת דוגמא נוספת הסותרת אותה. לא נביא כאן הוכחה למשפט פרמה הקטן מהסיבה שתתברר בהמשך. כ- 0 שנה לאחר הולדתו של פייר פרמה, בעיר בזל Leonhrd Euler, ) שבשוויץ נולד ליאונרד אוילר (Bsel) 0-8) שהיה, לימים, מתמטיקאי גדול ונשאר גדול בין הגדולים בכל הדורות אחריו. הוא יצר מספר ענק של דברים חשובים במתמטיקה וביניהם הכללת משפט פרמה. ננסה לשחזר את מחשבותיו לגבי תנאי משפט פרמה הקטן: "אם מספר ראשוני אזי הוא מספר כל המספרים הקטנים ממנו. מספרים אלה זרים ל-, במובן שאין לכל אחד מהם ול- אף מחלק משותף טבעי למעט. גם נמצא באותו יחס של זרות עם. מה יקרה אם נחליף במשפט פרמה מספר ראשוני במספר טבעי m כלשהו, את המספר נחליף במספר k של כל המספרים הטבעיים הקטנים מ- m אשר זרים ל- m, ובהתאם לשינויים אלה נדרוש כי יהיה זר ל- m?" אוילר חקר את השאלה והוכיח כי יש לה תשובה חיובית, כלומר נכון המשפט הבא: משפט אוילר יהי m מספר טבעי כלשהו ויהי מספר טבעי אשר זר ל- m כלומר ל- m ו- אין אף מחלק משותף טבעי למעט. יהי k מספר כל המספרים הטבעיים הקטנים מ- m אשר k זרים ל- m. אזי בחילוק של מספר במספר m בהכרח מתקבלת שארית. דוגמא ניקח =. m =, מספרים אלה זרים זה לזה. בין המספרים הקטנים מ- m נציין את אלה שזרים ל- m :.,,, לכן = k. נחשב ונציג בעזרת המחשבון: k = = 00 = 0 + רואים כי עבור המספרים = m =, טענת משפט אוילר אכן מתקיימת. משימה. בדקו את נכונות משפט אוילר עבור מספרים, m שונים העומדים בתנאי המשפט. משימה. הראו כי משפט פרמה הקטן נובע ממשפט אוילר. לאור הטענה שבמשימה האחרונה, אין צורך בהוכחה נפרדת של משפט פרמה הקטן. יש להוכיח את משפט אוילר ולקבל את משפט פרמה הקטן כהשלכתו. לצערנו אין באפשרותנו לדון כאן בהוכחת משפט אוילר. היא מובאת בכל ספר לימוד המוקדש ליסודות תורת המספרים, ולהבנתה דרושים רצון טוב ומאמצים סבירים. בהצלחה לאמיצים! עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00

10 בהסתמך על משפטי פרמה ואוילר ניתן לענות על שאלות מעניינות לגבי רישום עשרוני והתחלקות מספרים טבעיים. נביא שתי דוגמאות לכך. דוגמא ידוע כי מספר טבעי חד-ספרתי וכי מסתיים ב-. מהו? המספר 9 פתרון ניקח = 0 m. מהנתון נובע כי המספר אינו ואינו. לכן זר ל- 0. בין המספרים הקטנים מ- 0 המספרים הזרים ל- 0 הם:,,,9. לכן = k. לפי משפט אוילר, בחילוק של מספר ב- 0 מתקבלת שארית. זה אומר כי המספר b = מסתיים בספרה 8. לכן גם הריבוע של מספר זה b = מסתיים ב-. 9 לכן המספר יסתיים ב- אם ורק אם =. בכך, התשובה לשאלה היא: =. דוגמא איזו שארית מתקבלת בחילוק של 0 ב- 0? לפי משפט פרמה 0 הוא מספר ראשוני. פתרון המספר 00 ב- 0 מתקבלת שארית. הקטן, בחילוק המספר 00 ב- 0 גם מתקבלת שארית מכאן נובע כי בחילוק ב- 0 0 בחילוק המספר היות ו- = 9,. מתקבלת שארית 9. תשובה: השארית המבוקשת היא.9 דיון התאמת הנושא לבית-הספר העל-יסודי לרמת התיכון מבוצעת הנבחר התאמתו של הנושא באופן הבא: בסיסי החזקות נחשבים מספרים טבעיים, אם כי המשפטים תקפים גם עבור בסיסים שלמים. המשפטים אינם מוכחים, אלא מודגמים במספר רב של דוגמאות. הצגת החומר מתבססת לא על מושג הקונגרואנציה, אשר חדש לתלמיד התיכון, אלא על המושג המוכר לו היטב, שהוא שארית בחילוק מספרים טבעיים. בניסוח משפט אוילר משתמשים בתיאור המילולי של פונקציית אוילר ולא בסימון המיוחד שלה. בסיום סעיף זה נעיר הערה חשובה: אין לאסור על התלמיד להשתמש במחשבון בזמן ביצוע משימות מסוג דוגמאות, ורשימת בעיות נוספות, נלקחו מהמקור [] אלה המובאות ברשימת בעיות נוספות. להפך, כדאי להמליץ לו לשלב מחשבון בחישובים. אבל יש לדאוג שאופי המשימות יהיה כזה, שכדי להתמודד איתן, התלמיד ייאלץ, לא רק להיעזר במחשבון, אלא גם "להפעיל את הראש" קרי לבצע תהליך של חשיבה מתמטית. רשימת בעיות נוספות לסיכום נביא רשימת בעיות נוספות שניתן לפתור אותן על סמך משפט פרמה הקטן ומשפט אוילר:.0 מקורות הוכיחו כי השארית בחילוק: ב- היא הוכיחו כי המספר מתחלק ב- 0 ללא שארית. הוכיחו כי המספר מתחלק ב- 89 ללא שארית. מתחלק הוכיחו כי המספר + ב- ללא שארית. הוכיחו כי המספר: ב- 9 מתחלק ללא שארית. הוכיחו כי המספר מסתיים ב- 0. מהן שתי ספרות אחרונות ברישום עשרוני של המספר 9? מהן שתי ספרות אחרונות ברישום עשרוני של? המספר ב- מהי השארית בחילוק המספר?0 + ב- 80? מהי השארית בחילוק המספר. ד. מ. ברטון. תורת המספרים האלמנטרית. האוניברסיטה הפתוחה, 00. J.C.Abbot, editor. The Chuvenet Pers v.. MAA,98. A.P. Yushkevich, editor. The History of Mthemtics v.. Nuk, Moscow, 9 (in Russin). G.E.Andrews. Euler s Pentgonl Number Theorem. Mthemtics Mgzine : Vol., No.,.9-8, 98. htt:// עלון למורי המתמטיקה על"ה 8, תשס"ז, 00